恶补数学路上的另一条主线，本笔记只记录个人认为较需要思考的地方。

第一章 函数图像和直线

1.1函数

1.1.1导入

函数是将一个对象转换为另一个对象的规则

起始点为输入，来自成为定义域的集合，经常为x。

返回对象为输出，来自称为上域的集合。

但是，所有可能的输出的集合通常称为上域，实际输出（受x影响）的集合被称为值域，后者是前者的子集，前者在大部分情况下是全体实数，是更偏概念性的存在。

一个函数必须给每一个有效输入一个唯一的输出，所以，一个x点如果有两个y，就不可以称为函数。

1.1.2求定义域

很多情况下，函数的定义域常常不会直接给出。需要我们主动限制和判断。

通常需要注意定义域的有下面三种情况

1. 分数的分母不能为零。

2. 不能取一个负数的偶数次方根。

3. 不能取同一个负数或零的对数。

x为0或者y为0得到的对方的值，通常被称为截距。

1.1.4垂线检验

由于函数的某一个x上不允许存在两个y点。

我们只需要在某一个x点做x轴的垂线，一旦发现其交点大于1，就可以判断它不属于函数。

这就是垂线检验。

1.2反函数

导入

反函数就是某个函数的逆运算，即将原来的输入x映射到y，改成输入y映射回x的过程。

这也导致了，反函数的定义域就是原函数的值域。

1.2.1水平线检验与限制定义域

由于函数的定义——一个x只能有一个唯一确定的映射结果y。

所以，我们如果需要判断一个函数的反函数存不存在，可以进行水平线检验。

具体做法是，想象在图像的某一点处，做一条平行于 x 轴的水平线。检查这条水平线是否与函数图像有多个交点。如果有多个交点，说明对于同一个 y值，存在多个对应的 x 值，这时反函数就不存在，因为反函数会导致一个 x 对应多个 y值（违反了函数的定义）。此时，可以通过限制原函数的定义域来使反函数存在（实际上也间接限制了反函数的定义域）。

在存在偶数次方 x的函数。因为对平方对象开根通常有正负两解，所以反函数的转换结果可能会出现两个不同的函数形式。

而对于三角函数，由于它们在一个周期内会重复相同的 y值，因此限制定义域是确保反函数存在的常用做法。

1.2.3反函数图像

反函数图像为原函数沿着y=x的镜像函数图像。

1.2.4反函数的反函数

1. 对于f值域的所有y，都有f(f^-1 (y))=y。

2. 当原函数存在多个相同y值的情况下， f^-1(f (x))可能不等于x,因为f(x)=y在反函数映射可能可能会得到多个满足条件的x(还或者出现多个可能的反函数映射，选择的那个映射得到不符合预期的结果)，仅当x在限制的定义域内才成立。

1.3函数的复合

如果使用圆圈符号(f∘g∘x)，复合公式是从右往左执行。

如果存在一个形式为 g(x)=x-a的函数（其中 a 是常数），它可以被视为将函数图像向右平移了 a 个单位。这种平移性质是普适的，与函数的具体形式无关，因为函数的本质是将 x映射到 y。无论原函数是什么，将 x变为 x-a都会使整个图像向右移动 a个单位。

1.4奇函数和偶函数

偶函数沿着y轴对称，奇函数沿着原点有180度的对称，并且奇函数一定会经过原点。

偶函数定义：f(x)=f(-x)

奇函数定义：f(x)=-f(-x)

只有一个函数即奇又偶，那就是零函数f(x)=0，带入运算后会发现同时符合上面两个公式。

两个奇函数之积是偶函数，两个偶函数之积仍然是偶函数， 奇函数和偶函数之积是奇函数。这些定理都可以通过上面的公式带入证明。

1.5线性函数

形式：f(x)=mx+b，m为斜率，b为常数可以代表图像的位移，b=0时，就是经过原点。

点斜式：设已知函数的某一个点（x₀，y₀），即有y-y₀=m(x-x₀)，可以在知道斜率和某个点，或者知道两个点的情况下求解函数形式。

斜率m：设已知函数的两个点（x₁，y₁）（x₂，y₂），m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)

1.6其他常见函数与图像

有关图像请去16页翻阅，这里不记录

多项式

最常见的一类函数形式

即存在x的非负次幂形式的函数

幂被称为次数，次数=0就是常数1

每个项是所乘倍数就是系数，常数也可以视为次数=0的x和系数相乘的结果。

多项式的最高项如果在二次方以上开始，并且不同x项系数有正有负，图像就开始难以琢磨了，但是其大体走势和其最高次的系数关系很大，我们称为首项系数

对普通二次方程式配方，向将二次项系数化为1，然后对一次项先除2再平方。详见17页。

有理函数

可以化成两个多项式函数之比的函数，如p(x)/q(x)

普通多项式就是q(x)为1的有理函数。

有理函数变化多样。

指数函数和对数函数

对数函数是只指数函数的反函数。

f(x)=a^x=(1/a)^-x

三角函数

很重要，

所以下一章细讲

带绝对值的函数

经常会写成分段的形式。

|x-y|是数轴上x和y两点间的距离

|x|=根号x²

第2章 三角学回顾

2.1基本知识

弧度制2pi=360°，弧度制本质是对应度数的圆的部分周长和半径的比值

牢记6个三角函数，并背一些常用的度数对应三角函数值。

2.2三角形定义域

象限对应：以x和y的轴为分区，从右上角开始逆时针，分别为1 2 3 4象限。

对应三角函数的值的符号判定，可以通过对应两条边在某个象限的正负值的结果来判定。

三角函数需要取的角度，经常会大于90度，这个时候就可以通过当前象限下，线条和x最近的角度来直接判定得到一个90度内的角，然后直接套公式。

三角函数都拥有2pi为周期循环的性质，所以大于和小于2pi内的函数，都可以通过加减2pi来恢复到我们熟悉的范围。

三角函数的图像

三角函数的图像经常可以拿来表示周期性的震荡效果

sin tan cot cos都是奇函数，cos和sec是偶函数。

2.3三角形恒等式

大量的有用公式，建议直接翻阅课本:32

特别是倍角公式，可以在对某个角度无限切割的情况下化简某个函数。

第3章 极限导论

3.1基本思想

极限求的是某个点下两边函数最终趋近的值，但是那个点本身在函数的真实数值，反而是无关紧要的。

3.2左极限和右极限

取某个点的极限，从左和从右过来的极限是不一定相同的，我们会说它不存在双侧极限。

这种情况下，我们求极限，常常会左右分开进行求解，求得的结果分别称为左极限和右极限。

这种情况下，图像常常会表现为两边的线在这个极限点两边衔接不上的情况。

指的一提的是，存在左右极限的函数往往是分段函数，

3.3何时不存在极限

极限是确实可能不存在的，特别是当函数在某点附近的行为不稳定或不确定时,一个典型例子就是sin(1/x)这类存在y值会在某一点跃动的函数。

当x趋向0的时候，我们会发现它极其高频的发生震荡，但是我们完全无法估计它的趋近的那个最终位置。

3.4在正无穷和负无穷的极限

极限求解的一个方向常常是正无穷和负无穷。

当这个函数的式子只存在一个x的时候，我们求这个函数趋向无穷的极限。

x位于分子位，通常会带来一个新的无穷。

位于分母位的时候，通常会让所在的分数变成0。

但是在涉及到多个x的时候，情况就会变的复杂的多了，我们会把目光放到那些变化的更激进的x上（更多次的x项）

我们会在下一章仔细提到。

3.5关于渐近线的误解

1.一个函数左右水平渐进线可以不同，但是最多只有两条。

2.函数可能与其渐进线相交，比如sin(x)/x

3.6夹逼定理

当g(x)<=f(x)<=h(x),如果g(x)和h(x)都存在某个极限点，我们可以得到f(x)在此极限点的结果是相同的。

第4章 求解多项式的极限问题

4.1x->a时的有理函数的极限

求极限的函数经常会是p(x)/q(x)这类有理函数的形式

直接得到结果

当我们求极限的目标为一个准确的数a的时候，我们应该首先直接代入，如果分母不为0，便是我们想要的结果。

结果为0/0

但是在许多情况下，我们得到的结果可能是0/0，这被称作不定式

这种情况下，我们需要考虑的思路，就是将函数的分母导致该点为0的式子约掉，再代入，即可得到目标极限。

你可用把这个过程理解为，将原本a点定义域不存在的函数，转换为该点定义域也存在，并且于a点之外其他点相同的新函数。

结果为C/0

如果出现分母为0，分子不为0的情况。显而易见，这个极限的结果只有正无穷或者负无穷。

在这个时候，我们只需要关注左极限和右极限在到达该点前的符号，就可用得出其对应的极限。

请注意，很多情况下左右极限的符号不一定是相同的，出题者经常会把这个点放到符号变化的位置。

4.2x->a时的平方根的极限

这一节可用视为上一节的特殊解法。

如果碰到存在平方根的函数，请尝试使用共轭表达式。

详见p50。

4.3x->无穷的有理函数的极限

当x很大的时候，首项（最高次）决定一切，如果首项存在根号，直接取首项开根的结果。（前提是你确认开根后这个对象仍然是首项）

所以，我们运算的时候，要尽量把其中的精华——分子和分母的首项拆出来运算。

我们经常会对分子和分母分别采取(p(x)/p(x)的首项) X(p(x)的首项) 的方法，这种写法可以把p(x)里面的x全部消除掉，只留下分母上的x，这样我们经常可以通过极限得到0或者一个常数。

详见p51。

4.6包含绝对值的函数的极限

需要时刻注意正负问题

第五章 连续性和可导性

5.1连续性

5.1.1在某一点连续

条件：双侧极限到a点limf(x)=f(a)即可证明某点连续

5.1.2在一个区间上连续

设a到b区间，需要满足:

1. a到b内的所有点连续，

2. a满足右极限，b存在满足左极限

3. a,b两点的值存在并与其单侧极限相同

5.1.3连续函数的一些例子

运用连续概念，尽管我们强调过极限本身和其函数真正的目标点是无关的, 但是现在，我们就可以将极限a点附近的概念和在a点的概率联系起来。

即证明limf(x)=f(a)是合理的

5.1.4介值定理

即当a->b连续，两者之中的某个y点必定经过一次。详见p68

此定理非常适合用来求函数的某段定义域里面有没有解(但是无法确定有几个解)

值得一提的是，可以通过对f(x)+a进行变化，实现必经点的上抬，可以侧面证明其他公式。

5.1.6连续函数的最大值和最小值

如果f在[a,b]连续，那么f在[a,b]上至少有一个最大值最小值。

详见p70

5.2可导性

这章非常重要，建议通过书本仔细体会：p71

需要记住，可导函数必连续，连续函数不一定总是可导。

某一点可导条件：

1. 左右导数存在且相等

2. 所在点连续

第6章 求解微分问题

本章重点学习比较轻松的套路去求解微分问题

6.1定义求导

即通过基本求导微分公式去推导出不同的导数公式，之后求导的时候套用导数公式即可

6.2 用更好的方法求导

背下乘积法则 商法则和链式求导法则

6.3 求切线方程

导数得到的值就是这个点的切线斜率，然后代入该点的值和使用点斜式，就可以得到这个点的切线方程

6.4 速度和加速度

公式:设x为位移，t为时间，加速度a=d^2x/dt^2 =d(dx/dt)/dt d/dt建议合起来看成求导算子(对t进行求导的符号)

dt^2理解起来比较费劲，可以认为是数学遗留问题，需要借助微分公式推导，推导视频：为什么二阶导数是d²y/dx²？_哔哩哔哩_bilibili

6.5 导数伪装的极限

当发现某个表达式求极限困难的时候，可以试着看能不能套导数的微分公式，然后直接用导数公式得到极限公式。

值得一提的是，大部分此类情况页可以用洛必达直接解决，后面会讲

6.6 分段函数的导数